O sistema de numeração

O sistema de numeração

Sistema de numeração é um sistema em que um conjunto de números é representado por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como o contexto que permite ao numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o numeral binário para três ou o numeral decimal para onze.

Os números surgiram a partir do momento em que existiu a necessidade de contar objetos e coisas e isso aconteceu há mais de 30.000 anos. Os homens nessa época viviam em cavernas e grutas e não existia a idéia de números, mas eles tinham a necessidade de contar. Assim, quando os homens iam pescar ou caçar levava consigo pedaços de ossos ou de madeira. Para cada animal ou fruto capturado, o homem fazia no osso ou no pedaço de madeira um risco.

O primeiro registro dos números surgiu nos museus de todo o mundo há inúmeros objetos com marcas, pertencentes a épocas antigas. São pedaços de pau com talhos, pedaços de barro com marcas e cordas com nós. Existem cavernas em cujas paredes podemos ver marcas talhadas ou pintadas.

Isso parece indicar que o homem sentiu necessidade de registrar o total de objetos que contava. E como se fazia isso? Para registrar o total de objetos ele usava também a correspondência um a um: uma marca para cada objeto.

Já no sistema de numeração decimal para expressarmos quantidades ou para enumerarmos objetos, por exemplo, utilizamos um sistema de numeração. Existem vários sistemas de numeração, mas o mais comum e que é freqüentemente utilizado por nós, é o sistema de numeração decimal.

Neste sistema os números são representados por um agrupamento de símbolos que chamamos de algarismos ou dígitos.

Parte Fracionária

Até agora só tratamos de números inteiros, mas no universo do sistema de numeração decimal temos também os números fracionários.

Para separarmos a parte inteira da parte fracionária, utilizamos a vírgula.

Como já vimos, na parte inteira o valor de cada símbolo depende da sua posição relativa no número. Partindo-se da posição mais à direita, quando nos deslocamos à esquerda, a cada ordem o valor do símbolo aumenta em 10 vezes. De forma semelhante, quando nos deslocamos à direita na parte fracionária, a cada posição o valor do símbolo diminui em 10 vezes.

A primeira casa após a vírgula refere-se aos décimos, a segunda aos centésimos, a terceira aos milésimos, a quarta aos décimos de milésimos, e assim por diante, centésimos de milésimos, milionésimos, ...

Assim no número 0,1 o símbolo 1 não tem o valor de um, mas sim o valor relativo de apenas um décimo.

No número 0,02 o símbolo 2 equivale a dois centésimos.

No número 0,003 o símbolo 3 equivale a três milésimos e em 0,0003 equivale a três décimos de milésimos.

O número 0,25 pode ser lido como vinte e cinco centésimos ou ainda como dois décimos e cinco centésimos.

Lê-se 7,123 como sete inteiros e cento e vinte e três milésimos, ou ainda como sete inteiros, um décimo, dois centésimos e três milésimos.

1,5 é lido como um inteiro e cinco décimos.

O Ábaco é um instrumento muito simples, usado para diversas operações aritméticas tais como a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão, e ainda na resolução de diversos problemas com frações e raízes quadradas,  na sua concepção e essência o funcionamento deste artefacto é muito semelhante. Para facilitar esta compreensão, sugerimos a utilização do ábaco. 

Aluna:Danusa dos Santos Pereira Barreto

Curiosidades sobre o Ábaco

Ábaco

O ábaco é um instrumento bem sucedido que, segundo os estudiosos, foi uma invenção dos chineses para facilitar os cálculos, pois com o passar do tempo foi surgindo a necessidade de fazer “contas” cada vez mais complexas, assim inventaram o ÁBACO, formado por fios paralelos e contas ou arruelas deslizantes, que de acordo com a sua posição, representa a quantidade a ser trabalhada, contém 2 conjuntos por fio, 5 contas no conjunto das unidades e 2 contas que representam 5 unidades.

O ábaco foi disseminando por toda a sociedade, com a mesma função, o que mudava era somente sua nomenclatura: O ábaco japonês é conhecido como SOROBAN, os russos chamam de TSCHOTY.
Uma pessoa que manuseava um ábaco com agilidade conseguia fazer uma multiplicação de 5 algarismos com a mesma rapidez que uma pessoa faz hoje utilizando uma calculadora digital.
Ainda hoje, depois de 3 mil anos da sua invenção, comerciantes de algumas regiões da Ásia utilizam ainda esse instrumento.
Observem nas figuras abaixo várias tipos de ábacos:

O cálculo começa à esquerda, ou na coluna mais alta envolvida em seu cálculo, trabalha da esquerda para a direita. Assim, se tiver 548 e desejar somar com 637, primeiro colocará 548 na calculadora. Daí, adiciona 6 ao 5. Segue o padrão 6 = 10 – 4 por remover o 5 na vara das centenas e adicionar 1 na mesma vara (- 5 + 1 = - 4) daí, adicione uma das contas de milhares à vara da esquerda. Daí passa o três ao quatro, o sete ao oito, no ábaco aparecerá a resposta: 1.185.

Por operar assim, da esquerda para a direita, o cálculo pode ser iniciado assim que souber o primeiro dígito. Na aritmética mental ou escrita, o cálculo começa a partir das unidades ou do lado direito do problema.

Como utilizar o Ábaco na Rotina Escolar

Atividades Propostas

– Apresentação do problema 

Dados os materiais expostos, tentem construir um ábaco. Como ele poderia ser utilizado para se compreender e operar no sistema de numeração decimal?

Objetivo

Incentivar o aluno a identificar o sistema de numeração decimal que é proposto na atividade, o fato de ter valor posicional, a utilização das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão em sua representação e a quantidade de símbolos utilizados. 

Materiais: 

• 5 pentes de ovos ou pedaços de isopor que possam apoiar os palitos; 

• 20 palitos de churrasco; 

• 250 tampinhas de garrafa de cerveja furadas ao meio.. 

2 – Levantamento de hipóteses

O professor questiona aos alunos sobre a forma de representar as 

operações no ábaco. Em seguida, direciona para as regras que são 

apresentadas na experimentação. 

– Experimentação

O professor apresenta aos alunos duas situações problema e pede que os mesmos as resolvam no ábaco. É importante que o professor resolva as operações com reserva e reagrupamento para que o processo fique claro.: 

• Duas turmas do projeto “Mão na Massa” têm 26 alunos cada. Quantos alunos há no total?

• Considerando que 18 alunos chegaram atrasados para as oficinas da tarde, quantos alunos foram pontuais?

– Discussão Coletiva:

As crianças discutem no interior do grupo (ou da dupla) e depois com a classe toda para tentar explicar o processo utilizado. .Ressaltar que o ábaco foi a primeira calculadora inventada pela humanidade e é o que deu origem ao quadro de posição. O ábaco trabalha o sistema de numeração decimal, levando a criança a perceber o funcionamento deste sistema.

 Uma grande importância da utilização do ábaco está no fato de ele explicar a reserva na adição e o reagrupamento, na subtração, utilizados no algoritmo do sistema de numeração indo-arábico. É importante destacar que o ábaco não substitui a necessidade evidente de as crianças mostrarem seu raciocínio, a partir de algoritmos próprios. 

– Registro: Desenhe vários ábacos e escolha uma operação. Resolva-a representando cada fase de sua resolução nos ábacos desenhados.

Rebeca P. Bacin RA: 30060093

AS PRIMEIRAS FASES DO APRENDIZADO DE MATEMÁTICA

Cada aluno que chega em sala de aula, traz dentro de si uma bagagem, algum tipo de conhecimento que sempre deve ser levado em conta, qualquer que seja a disciplina a ser trabalhada. Ao invés de descartar o conhecimento que o aluno já tenha, o educador deve buscar dar sentido a esse conhecimento e oferecer desafios que possam amplia-los. Estes desafios podem ser apresentados de forma simples, por exemplo: “Até que número você sabe contar?” Este tipo de pergunta faz o aluno perceber a satisfação do adulto, e esforça-se para mostrar aquilo que ele já aprendeu.

Desde cedo as crianças começam a adquirir conhecimento sobre os números, e á medida que seus desafios aumentam, aparecem muitas dúvidas, mas sempre deve haverá aprendizado, e esse aprendizado é um pouco lento e vem em fases.

1ª Fase: Aproximação Global e Recitação Oral: A criança começa a aprender números isolados, designando quantidades, e este aprendizado é construído com pedidos simples do professor: “traga-me quatro lápis; pegue três folhas de papel; use cinco cores”, etc. Há muitos meios de fazer esse tipo de exercício dentro da sala de aula: na chamada, na idade, na quantidade de colegas da turma, enfim, e o aluno aos poucos vai dando significado a essas palavras que representam quantidades.

Em seguida aprende os números ordenados, na sua sequência lógica, e nessa fase de organização dos nomes dos números o professor não deve ainda questionar ao aluno se um é maior ou menor que dois, se dez é maior que oito... Não deve tentar com que o aluno faça comparações. O conhecimento da sequência numérica vai se modificando de acordo com as competências do aluno. A listagem dos números torna mais fácil o aprendizado da ordem certa dos números, assim como contar, recitar os números, contar de dois em dois, de dez em dez, e de frente para traz.

Com a listagem dos números o aluno tem a representação do símbolo do número, e descobre ainda que número vem antes e depois de cada um, aprenderá a ler o número de forma global. É importante o professor trabalhar essa leitura global com o aluno enfatizando quantas vezes for preciso que o número seis vem depois do cinco, que o cinco vem antes do seis, e assim por diante. O registro escrito permite ao aluno uma imagem mental, associando a representação concreta e o resultado efetivo. O professor pode ampliar essa visão do aluno sugerindo que ele veja qual a distância entre os números e perceba que os números são infinitos.

Algumas crianças conseguem ler um número quando o vê na tabela, mas não conseguem quando se deparam com o número isolado, então é necessário que o professor trabalhe com o  aluno de modo que este possa repetir a escrita do número muitas vezes até que o número possa ser lido sem a tabela, o professor deve fazer com que o aluno tenha curiosidade de escrever o número.

2ª Fase: Aspecto Algorítmico da Escrita: Nesta fase a criança adquirirá consciência da organização da sucessão numérica escrita, através de situações que favoreçam a junção de número com leitura e escrita, explorando e discutindo a análise das escritas. Esta fase se inicia na educação infantil, mas é no Ensino Fundamental que adquire toda sua importância. Somente quando a criança usa a relação de inclusão é que inicia o processo de construção do conceito de número.

3ª Fase: Agrupamento de dez em dez: Esta fase evidencia os agrupamentos de dez em dez, para que o aluno possa compreender que os números mudam o seu valor de acordo com a sua posição, por exemplo: o número 1 do 10 não tem o mesmo valor que o 1 do 21. O aluno do 2º ano poderá compreender dezenas e unidades de números de até três algarismos, porém não com exercícios formais, mas com situações em que sintam necessidade de verificar esse agrupamento, pedindo por exemplo que o aluno separe 250 balas em pacotes com 10 balas cada. O professor pode estimular o aluno com atividades como colecionar 10 elementos de qualquer objeto, por meio de fichas, etc.

Todos esses aprendizados são adquiridos de forma lenta e requer um bom trabalho com muita estimulação, e a aprendizagem plena se dá quando o aluno concretiza o cálculo mental. O professor deve sempre lembrar que é dever seu oferecer oportunidades para que o aluno possa avançar com sucesso.

Elaine Pontes 5° NA Pedagogia

RA 6821484575

O zero, o um e as quatro operações

Os números 0 e 1, se comportam de maneira bastante especial em relação as 4 operações matemáticas.

Desta maneira, nos é comum ouvir “-O zero não vale nada!”, “-Zero não conta!”, etc.

Isso faz sentido quando pensamos no 0 associado à subtração ou a adição, pois de fato, somando ou subtraindo 0 a um numero qualquer obtemos o próprio numero.

A+0=A     A-0=A

*A letra A representa um numero qualquer

Já na multiplicação o papel do zero é bem diferente.

5X0= 0+0+0+0+0=0

0X3= 0+0+0=0

O zero na multiplicação anula qualquer produto.

Na divisão, como dividendo o 0 não apresenta dificuldades.

Ex: 0:7=0    0X7=0

Já como divisor se torna impossível, já que não existe um numero que multiplicado por 0 resulta nele mesmo, pois como já vimos anteriormente, todo numero multiplicado por 0 é igual a 0.

Há ainda o caso em que o divisor e o dividendo são iguais a 0. Dividir 0 por 0 é encontrar um número que multiplicado por 0 de 0. Nesse caso haveria infinitos quocientes já que todo numero serviria.

Mas como para a matemática não interessa ter infinitos quocientes para uma só divisão, não se permite a divisão de 0 por 0.

Sendo assim: O ZERO NUNCA PODE SER DIVIDOR.

Vimos que na adição e subtração o 0 é neutro. Na multiplicação essa neutralidade fica para o numero 1.

AX1=A    1XA=A

Qualquer numero multiplicado por 1 dará ele mesmo.

          O algoritmo tradicional da divisão

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Você já conhece este algoritmo:

Trata-se de uma técnica para dividir que é, sem dúvida, bastante eficiente. Vamos discutir a compreensão da mesma.

·  Por que dividimos 7 por 6?

·  Por que abaixamos o 9 e não o 98?

·  Por que dizemos: 3 vezes 6 é 18, para 19 falta 1?

Par facilitar a compreensão do algoritmo usaremos materiais didáticos. São adequados o ábaco (apresentado no módulo 1) e o material dourado (módulo 2).

Vamos representar o número 798 com o material dourado:

Para dividir 798 por 6 vamos distribuir igualmente 798 em 6 grupos:

Começaremos distribuindo as centenas.

Desagrupamos a centena restante transformando-a em 10 dezenas. Agora temos 19 dezenas.

Distribuímos as dezenas.

Desagrupamos a dezena restante transformando-a em 10 unidades. Agora temos 18 unidades.

Finalmente distribuímos as unidades.

Em cada um dos 6 grupos temos 133 unidades. Esta divisão é exata, isto é, seu resto é zero.

A compreensão deste algoritmo da divisão depende da compreensão do nosso sistema de numeração, do domínio da subtração e de uma certa experiência com estimativas e cálculo mental.

No trabalho de sala de aula constatamos que a compreensão e o domínio desta técnica por parte dos alunos não é um processo simples.

Enviado por: Daniele de A. Fernandes

RA: 30055111 - 5º NA Pedagogia

Aluna: Valdinete Jesus Do Livramento

Multiplicação

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples formar de agruparmos uma quantidade finita de números. Na geometria , está relacionada também como uma operação geométrica - .a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética.

Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador  A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z. Segue exemplos:4x4 =4+4+4=12. No processo inicial da construção do conceito de número é fundamental a intervenção do professor nesse processo para ajudar o aluno no seu desenvolvimento da aprendizagem, pois o professor pode ensinar de forma que a criança possa aprender a matemática de forma divertida e prazerosa. A partir do momento em que o professor coloca a ludicidade em suas práticas pedagógicas dentro de sala de aula com seus alunos, certamente estará contribuindo para que seu aluno aprenda a gostar não somente da matemática, mas como de qualquer outra disciplina. há varias formas de se resolver e aprender com a matemática e de usar a multiplicação uma vez que, dentro do processo do conceito de números, por mais que o ensino seja de forma lúdica, a maior parte dos alunos ainda apresentam dificuldades no desenvolvimento de suas aprendizagens. Por isso, os professores usam todas essas estratégias da matemática para estimular o aluno no processo inicial do conceito de números. Todas as formas mostradas são fundamentais para aprender a fazer a multiplicação como exemplo, as parcelas de números iguais, tudo pode levar o aluno a perceber que a multiplicação está inserida no mundo em que ele vive, de acordo com a sua realidade e entender que a multiplicação pode ser resolvida de muitas formas e não ter a matemática somente como a decoreba.

ALUNA:JULIANA MARQUES CINTRA SANTOS

ADIÇÃO

Nas operações da adição ou subtração envolvendo números na forma de fração com denominadores diferentes, devemos criar um novo denominador através do cálculo do mínimo múltiplo comum – MMC dos denominadores fornecidos. O novo denominador deverá ser dividido pelos denominadores atuais, multiplicando o quociente pelo numerador correspondente, constituindo novas frações proporcionalmente iguais as anteriores e com denominadores iguais.

SUBTRAÇÃO

As operações de subtração envolvendo os números inteiros requerem algumas situações teóricas que relacionam os possíveis sinais operatórios. Para realizar a subtração entre os números inteiros precisamos ter conhecimento sobre o módulo de um número. Módulo de um número inteiro é calculado obtendo o seu valor real.

CALCULOS NA LANCHONETES

 O cálculo mental ou cálculo numérico é referido nos currículos de Matemática há mais de 70 anos  e tem agora um lugar de destaque nas novas orientações curriculares em Portugal, embora ao longo do tempo isto nem sempre se verificasse. Na verdade, o rápido avanço da tecnologia tem contribuído para a desvalorização de competências básicas de cálculo quando deveria ter acontecido o contrário pois o desenvolvimento de estratégias pessoais de cálculo mental permite a consolidação do sentido de número e a melhoria da capacidade crítica e de esti­mação dos alunos.

POR QUE PRATICAR O CALCULO MENTAL

A importância do desenvolvimento do cálculo mental nos alunos é referida por diversos numeros salienta que o cálculo mental desenvolve nas crianças qualidades de ordem (pois permite a verificação das ordens de grandeza de alguns resultados e a rápida verificação de valores aproximados), de lógica, de reflexão e de memória contribuindo para a sua formação intelectual e fornecendo-lhes ferramentas para efectuarem cálculos simples sem recurso a ajuda escrita e, deste modo, preparando-as para o dia-a-dia. Refere ainda que, através do cálculo mental, a criança trabalha simultane­amente a memória e a concentração, desenvolvendo a memória dos números, o que a obriga a tomar um contacto mais próximo com a individualidade de cada número, levando-a progressivamente a empregar, em numerosos casos, simpli­ficações operatórias.

UTILIZANDO O ABACO PARA ADICIONAR

A vantagem educacional mais significante em utilizar um ábaco, ao invés de bolas ou outro material de contagem, quando se pratica a contagem ou a adição simples, é que isso dá aos estudantes uma ideia dos grupos de 10 que são a base do nosso sistema numérico. Mesmo que os adultos tomem esta base de 10 como garantida, é na realidade difícil de aprender. Muitas crianças de 6 anos conseguem contar até 100 de seguida com somente uma pequena consciência dos padrões envolvidos pelo abaco.

O abaco é um antigo instrumento de calculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...) que podem fazer-se deslizar livremente. Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos. O ábaco pode ser considerado como uma extensão do ato natural de se contar nos dedos. Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez. Ele é utilizado ainda hoje para ensinar às crianças as operações de somar e subtrair.

A TECNICA DO VAI UM

A busca de estratégias pessoais de realização do cálculo envolve diversos conhecimentos a respeito dos números e da maneira de operar com eles. Todo esse aprendizado será fundamental para a compreensão dos passos envolvidos na realização da conta armada.
Estratégias pessoais
Ensinar aos alunos diferentes técnicas de cálculo, com base no que eles mesmos criaram pensando em correspondências, é uma ótima maneira de valorizar suas contribuições. Além disso, garante que o aprendizado não seja memorizado mecanicamente, sendo compreendido de fato pelos alunos.

PARTE 2

SUBTRAÇÃO:QUANDO DEVEMOS SUBTRAIR?

A operação de subtração também coloca seus desafios, se quisermos que os alunos não se limitem a repetir as etapas, sem compreendê-las. No caso da subtração, o maior desafio é explicar o significado do “empresta 1”.

A busca de estratégias pessoais de realização do cálculo envolve diversos conhecimentos a respeito dos números e da maneira de operar com eles. Todo esse aprendizado será fundamental para a compreensão dos passos envolvidos na realização da conta armada.
Estratégias pessoais
Ensinar aos alunos diferentes técnicas de cálculo, com base no que eles mesmos criaram pensando em correspondências, é uma ótima maneira de valorizar suas contribuições. Além disso, garante que o aprendizado não seja memorizado mecanicamente, sendo compreendido de fato pelos alunos.

É a primeira máquina de calcular inventada pelo homem,

sendo o seu inventor desconhecido.

O ábaco que nos é mais familiar desenvolveu-se provavelmente

na China. Os chineses colocavam pequenas

contas em fios presos numa armação, moviam as contas

para cima e para baixo, efetuando deste modo os seus

cálculos.É a primeira máquina de calcular inventada pelo homem,

sendo o seu inventor desconhecido.

O ábaco que nos é mais familiar desenvolveu-se provavelmente

na China. Os chineses colocavam pequenas

contas em fios presos numa armação, moviam as contas

para cima e para baixo, efetuando deste modo os seus calculos.